Cho hàm số $f(x) = \sqrt{2x + 2}$. Tính $\int_{1}^{3} [f(x)]^2\,dx$.

Cho hàm số $f(x) = 2x$ và hình phẳng $(D)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành, hai đường thẳng $x = 1$ và $x = 2$.

Cho hàm số $f(x) = 3x^{2}$. Tính $\int_{0}^{1} [f(x)]^2\,dx$.

Cho hàm số $f(x) = 3x^{2}$ và hình phẳng $(D)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành, hai đường thẳng $x = 0$ và $x = 1$.

Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 0$ và $x = 3$. Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ là hình vuông cạnh $f(x) = \sqrt{x + 4}$. Tính thể tích của vật thể đó.

Cho hình phẳng $(D)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2x^{2}$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = 1$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay $(D)$ quanh trục $Ox$ bằng $V = k\pi$. Tính $k$.

Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x = 1$ và $x = 3$. Thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ là hình tròn đường kính $f(x) = 2x$. Tính thể tích của vật thể đó.