Toán

Một hộp có $25$ thẻ đánh số từ $1$ đến $25$. Gọi $A$ là biến cố “số ghi trên thẻ chia hết cho $3$”. Tính $P\left(\overline{A}\right)$.

Gieo một đồng xu cân đối $4$ lần và vẽ sơ đồ hình cây cho dãy kết quả. Tính số nhánh có đúng $2$ lần mặt ngửa.

Cho một hộp có 5 viên bi đỏ và 7 viên bi xanh. Rút ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi. Tính xác suất cả hai đều đỏ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Ba biến cố $A$, $B$, $C$ đôi một xung khắc có xác suất lần lượt là $0{,}15$, $0{,}1$, $0{,}35$. Tính xác suất có đúng một trong ba biến cố xảy ra.

Một hộp có $20$ tấm thẻ được đánh số từ $1$ đến $20$. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi $A$ là biến cố “số ghi trên thẻ chia hết cho $3$”. Tính $P(A)$.

Trong khai triển $\left(x + 2\right)^{7}$, số hạng tổng quát là

Trong tam giác Pascal, $C_{7}^{4}$ bằng tổng của hai số nào ở hàng ngay trên?

Chứng minh bằng quy nạp rằng $A_n = 12^n - 1$ chia hết cho $11$ với mọi số nguyên dương $n$. Giá trị $A_{2}$ bằng

Xét mệnh đề $P(n)$: “$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$” với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh bằng quy nạp toán học. Giả thiết quy nạp là

Xét khai triển $\left(x + 3\right)^{7}$.

Tính $C_{6}^{4}$.

Trong khai triển $\left(3x^2 + \dfrac{3}{x}\right)^{6}$, số hạng tổng quát là

Xét mệnh đề $P(n)$: “$1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + \cdots + n\left(n+1\right) = \dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}$” với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh bằng quy nạp toán học.

Xét hàng thứ $7$ của tam giác Pascal, đánh số hàng bắt đầu từ $0$.

Chứng minh bằng quy nạp rằng $A_n = 5^n - 1$ chia hết cho $4$ với mọi số nguyên dương $n$. Tính $A_{3}$.

Trong khai triển $\left(x^2 + \dfrac{2}{x}\right)^{7}$, số hạng chứa $x^{8}$ ứng với $k$ bằng bao nhiêu?

Tính số đứng ở vị trí thứ $3$ của hàng thứ $5$ trong tam giác Pascal.

Xét mệnh đề $P(n)$: “$1 + 4 + 7 + \cdots + \left(3n - 2\right) = \dfrac{n\left(3n-1\right)}{2}$” với mọi số nguyên dương $n$, chứng minh bằng quy nạp toán học. Tính giá trị vế phải của $P(8)$.

Một bình dung dịch được pha từ ba nguyên liệu dung dịch A, dung dịch B và dung dịch C, tính theo đơn vị lít. Biết mỗi đơn vị dung dịch A chứa 1 gam muối thứ nhất; 3 gam muối thứ hai; 2 gam muối thứ ba, mỗi đơn vị dung dịch B chứa 4 gam muối thứ nhất; 1 gam muối thứ hai; 2 gam muối thứ ba, mỗi đơn vị dung dịch C chứa 2 gam muối thứ nhất; 1 gam muối thứ hai; 3 gam muối thứ ba. Hỗn hợp cần đúng $60$ gam muối thứ nhất, $30$ gam muối thứ hai và $52$ gam muối thứ ba. Gọi $x$, $y$, $z$ lần lượt là số đơn vị dung dịch A, dung dịch B, dung dịch C. Phương trình ứng với muối thứ nhất là

Cho hệ $\begin{cases}x + y + 2z = 5 \\ 2x + 3y + z = 4 \\ 3x + 2y + z = 13\end{cases}$. Lấy phương trình thứ hai trừ $2$ lần phương trình thứ nhất, ta được